Question

已知圓C：（x+3）²+（y-4）²=4．
（1）若直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且與圓C相切，求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）若圓D的半徑為4，圓心D在直線(xiàn)l₂：2x+y-2=0上，且與圓C內(nèi)切，求圓D的方程．

Answer 1

分析：（1）分類(lèi)討論，利用直線(xiàn)與圓C相切，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，距離方程，即可求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）由題意得，圓C的圓心C（-3，4），圓C的半徑r=2，CD=2，從而可建立方程，即可求圓D的方程．

解答：解：（1）①若直線(xiàn)l₁的斜率不存在，直線(xiàn)l₁：x=-1，符合題意．   …（2分）
②若直線(xiàn)l₁的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l₁為y=k（x+1），即kx-y+k=0．
由題意得，

|-3k-4+k|

k2+1

=2，…（4分）
解得k=-

3

4

，∴直線(xiàn)l₁：3x+4y+3=0．…（7分）
∴直線(xiàn)l₁的方程是x=-1或3x+4y+3=0．                      …（8分）
（2）依題意，設(shè)D（a，2-2a），
由題意得，圓C的圓心C（-3，4），圓C的半徑r=2，CD=2．…（12分）
∴

(a+3)2+(2-2a-4)2

=2，解得a=-1或a=-

9

5

，
∴D（-1，4）或D(-

9

5

，

28

5

)．…（14分）
∴圓D的方程為 （x+1）²+（y-4）²=16或(x+

9

5

)2+(y-

28

5

)2=16．       …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)、圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．