Question

【題目】已知f（x）=ex與g（x）=ax+b的圖象交于P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）兩點(diǎn)． （Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；
（Ⅱ）且PQ的中點(diǎn)為M（x0 ， y0），求證：f（x0）＜a＜y0 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）h（x）=ex﹣ax﹣b，求導(dǎo)得h'（x）=ex﹣a 當(dāng)a≤0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在R上為增函數(shù)，不滿足有兩個(gè)零點(diǎn)，故不合題意；
所以a＞0，令h'（x）=0，解得x=lna，
并且有x∈（﹣∞，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0，
故 ．
（Ⅱ）證明：要證f（x0）＜a＜y0成立，
即證 ，不妨設(shè)x2＞x1 ，
只需證 ，
即為 ，
要證 ，只需證 ，
令 ，
只需證F（t）＞0，求導(dǎo) ，
∴F（t）在（0，+∞）為增函數(shù)，
故F（t）＞F（0）=0，
∴ ；
要證 ，
只需證明 ，
令 ，
求導(dǎo) ，
∴G（t）在（0，+∞）為減函數(shù)，故G（t）＜G（0）=0，
∴ ；
∴ ，t＞0，成立，
∴f（x0）＜a＜y0成立
【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值即可， （Ⅱ）利用分析法，要證f（x0）＜a＜y0 ， 只需證 ，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)只需證明 ，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�