Question

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱．

（1）求的解析式；

（2） 若函數(shù)的圖象與直線在上只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

分析：(1)根據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定的解析式；(2)先化簡(jiǎn)，再同一坐標(biāo)系中作出y＝sin和y＝a的圖象，根據(jù)圖像確定實(shí)數(shù)的取值范圍．

詳解：(1) f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－ (1＋cos2ωx)＋＝sin＋1.∵ 函數(shù)f(x)的最小正周期為π，∴ ＝π，即ω＝±1，

∴ f(x)＝sin＋1.

① 當(dāng)ω＝1時(shí)，f(x)＝sin＋1，∴ f＝sin＋1不是函數(shù)的最大值或最小值，

∴ 其圖象不關(guān)于x＝對(duì)稱，舍去．

② 當(dāng)ω＝－1時(shí)，f(x)＝－sin＋1，

∴ f＝－sin＋1＝0是最小值，

∴ 其圖象關(guān)于x＝對(duì)稱．

故f(x)的解析式為f(x)＝1－sin.

(2) y＝1－f(x)＝sin，在同一坐標(biāo)系中作出y＝sin和y＝a的圖象：

由圖可知，直線y＝a在a∈或a＝1時(shí)，兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴ a∈或a＝1.