【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），過(guò)作的角平分線交橢圓于另一點(diǎn).證明：直線與坐標(biāo)軸平行.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求解即可；

（2）因?yàn)?/span>平分，欲證與坐標(biāo)軸平行，即證明直線的方程為或，只需證，斜率都存在，且滿足即可.將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

（1）解：，將代入橢圓方程，得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）證明：∵平分

欲證與坐標(biāo)軸平行，即證明直線的方程為或

只需證，斜率都存在，且滿足即可.

當(dāng)或斜率不存在時(shí)，即點(diǎn)或點(diǎn)為，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意，故，斜率都存在.

設(shè)直線：，，，

聯(lián)立，

，∴，

由韋達(dá)定理得，，

得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省年開(kāi)始將全面實(shí)施新高考方案．在門(mén)選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門(mén)科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．

（1）某校生物學(xué)科獲得等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分

91

90

89

88

87

85

83

82

轉(zhuǎn)換分

100

99

97

95

94

91

88

86

人數(shù)

1

1

2

1

2

1

1

1

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．

附：若，則，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年泉州市農(nóng)村電商發(fā)展迅猛，成為創(chuàng)新農(nóng)產(chǎn)品交易方式、增加農(nóng)民收入、引導(dǎo)農(nóng)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革、促進(jìn)鄉(xiāng)村振興的重要力量，成為鄉(xiāng)村振興的新引擎.2019年大學(xué)畢業(yè)的李想，選擇回到家鄉(xiāng)泉州自主創(chuàng)業(yè)，他在網(wǎng)上開(kāi)了一家水果網(wǎng)店.2019年雙十一期間，為了增加水果銷(xiāo)量，李想設(shè)計(jì)了下面兩種促銷(xiāo)方案：方案一：購(gòu)買(mǎi)金額每滿120元，即可抽獎(jiǎng)一次，中獎(jiǎng)可獲得20元，每次中獎(jiǎng)的概率為（），假設(shè)每次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立.方案二：購(gòu)買(mǎi)金額不低于180元時(shí)，即可優(yōu)惠元，并在優(yōu)惠后的基礎(chǔ)上打九折.

（1）在促銷(xiāo)方案一中，設(shè)每10個(gè)抽獎(jiǎng)人次中恰有6人次中獎(jiǎng)的概率為，求的最大值點(diǎn)；

（2）若促銷(xiāo)方案二中，李想每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的八折，求的最大值；

（3）以（1）中確定的作為的值，且當(dāng)取最大值時(shí)，若某位顧客一次性購(gòu)買(mǎi)了360元，則該顧客應(yīng)選擇哪種促銷(xiāo)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）當(dāng)時(shí)，直線平分曲線，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚(yú)稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚(yú)的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚(yú)，求魚(yú)的重量在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）（ⅰ）從捕撈的100條魚(yú)中隨機(jī)挑出6條魚(yú)測(cè)量體重，6條魚(yú)的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）

條數(shù)

1

3

2

為了進(jìn)一步了解魚(yú)的生理指標(biāo)情況，從6條魚(yú)中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚(yú)中體重在內(nèi)的條數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚(yú)稱重做標(biāo)記后立即放生.兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚(yú)的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的條數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)，一場(chǎng)突如其來(lái)的新型冠狀病毒感染的肺炎疫情，牽動(dòng)著我們每個(gè)人的心，嚴(yán)重?cái)_亂了大家的正常生活，在全國(guó)人民的共同努力下，疫情得到了有效的控制.已知某市A，B，C三個(gè)小區(qū)的志愿者人數(shù)分別為60，40，20，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這120名志愿者中隨機(jī)抽取6人去支援夕陽(yáng)紅敬老院.若再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2名作為負(fù)責(zé)人，則這2名志愿者來(lái)自不同小區(qū)的概率是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)系原點(diǎn)），點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離大1，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（1）求曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

①若，求直線的直線方程；

②分別過(guò)點(diǎn)，作曲線的切線且交于點(diǎn)，是否存在以為圓心，以為半徑的圓與經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大型商場(chǎng)的空調(diào)在1月到5月的銷(xiāo)售量與月份相關(guān)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

月份

1

2

3

4

5

銷(xiāo)量（百臺(tái)）

0.6

0.8

1.2

1.6

1.8

（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷(xiāo)售量可用線性回歸模型擬合該商場(chǎng)空調(diào)的月銷(xiāo)量（百件）與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)6月份該商場(chǎng)空調(diào)的銷(xiāo)售量；

（2）若該商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部對(duì)空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷(xiāo)，對(duì)7月到12月有購(gòu)買(mǎi)空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購(gòu)買(mǎi)空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)過(guò)營(yíng)銷(xiāo)部調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的500名顧客進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

有購(gòu)買(mǎi)意愿對(duì)應(yīng)的月份

7

8

9

10

11

12

頻數(shù)

60

80

120

130

80

30

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中恰好有2人是購(gòu)買(mǎi)意愿的月份是12月的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn).

（1）比較與的大小；

（2）證明：.

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