Question

如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸交于K點(diǎn).

（1）求證：KF平分∠MKN；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）8.

【解析】

試題分析：（1）只需證，設(shè)出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線MN方程，再把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得證；（2）由（1）設(shè)出的M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別先求出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，還是把設(shè)出的直線MN方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理把表示出來，再根據(jù)直線MN的傾斜角的范圍求的最小值.

試題解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.       2分

設(shè)直線MN的方程為。設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為

由,   ∴.  4分

設(shè)KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可. ∵，

∴ ，        6分

（2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為，由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為，    7分

設(shè)直線MN的方程為。由

∴則

     9分

又直線MN的傾斜角為，則 

∴ .10分

同理可得.  13分

(時取到等號) .       15分

考點(diǎn)：1、拋物線的方程及性質(zhì)；2、直線與曲線相交的性質(zhì).