Question

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）可設(shè)直線的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直線的斜率為直線的方程為 同理，直線的方程為  M的橫坐標(biāo)即，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列（Ⅱ）32

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，則可設(shè)直線的方程

（），，，

由消去，得，

. ，         2分

由，得，所以，直線的斜率為，

所以，直線的方程為，又，

所以，直線的方程為      ①         4分

同理，直線的方程為      ②          5分

②-①并據(jù)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，

即，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列          7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k,-1）().

所以，則直線MF的方程為          8分

設(shè)C(x₃,y₃),D(x₄,y₄), 由消去，得，

，.             9分

又

               10分

         12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061710364438492018/SYS201306171037346994437980_DA.files/image040.png">，所以，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值         14分

考點(diǎn)：拋物線方程及直線與拋物線的相交的位置關(guān)系弦長(zhǎng)等

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程，進(jìn)而利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求的方法化簡(jiǎn)，在求解時(shí)弦長(zhǎng)公式經(jīng)常用到，本題中函數(shù)在某一點(diǎn)的切線問(wèn)題要借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率