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【題目】已知點P(2,0)及圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)設過P直線l1與圓C交于M、N兩點,當|MN|=4時,求以MN為直徑的圓Q的方程;
(2)設直線ax﹣y+1=0與圓C交于A,B兩點,是否存在實數a,使得過點P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實數a的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:由于圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0的圓心C(3,﹣2),半徑為3,

|CP|= ,而弦心距d= ,

所以d=|CP|= ,所以P為MN的中點,

所以所求圓的圓心坐標為(2,0),半徑為 |MN|=2,

故以MN為直徑的圓Q的方程為(x﹣2)2+y2=4


(2)解:把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圓C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a﹣1)x+9=0.

由于直線ax﹣y+1=0交圓C于A,B兩點,

故△=36(a﹣1)2﹣36(a2+1)>0,即﹣2a>0,解得a<0.

則實數a的取值范圍是(﹣∞,0).

設符合條件的實數a存在,

由于l2垂直平分弦AB,故圓心C(3,﹣2)必在l2上.

所以l2的斜率kPC=﹣2,

∴kAB=a=

由于

故不存在實數a,使得過點P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB


【解析】(1)由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離,再根據弦長|MN|的一半及半徑,利用勾股定理求出弦心距d,發(fā)現|CP|與d相等,所以得到P為MN的中點,所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標,半徑為|MN|的一半,根據圓心和半徑寫出圓的方程即可;(2)把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程,因為直線與圓有兩個交點,所以得到△>0,列出關于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍,利用反證法證明:假設符合條件的a存在,由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上,根據P與C的坐標即可求出l2的斜率,然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1,即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率,進而求出a的值,經過判斷求出a的值不在求出的范圍中,所以假設錯誤,故這樣的a不存在.

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