【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+x,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[,2]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)m<0時(shí),試判斷函數(shù)g(x)=-其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))是否存在零點(diǎn),并說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)(Ⅲ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)求出,對(duì)的正負(fù)判斷,從而確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最值。
(Ⅱ)轉(zhuǎn)化成在區(qū)間[,2]恒成立,再參變分離,轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題,利用基本不等式求最值即可。
(Ⅲ)將所求問(wèn)題化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成方程在內(nèi)是否有解,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,再由即可判斷原函數(shù)不存在零點(diǎn)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,
,
令得或.
當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:
x | |||||
+ | 0 | ||||
f(x) | 單調(diào)遞增↗ | 極大值 | 單調(diào)遞減↘ |
∴,
.
(Ⅱ)
∵在上是單調(diào)遞增函數(shù),
∴在上恒成立.
即:.
∵,
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立.
∴
(Ⅲ)由題意可知,,
要判斷是否存在零點(diǎn),只需判斷方程在內(nèi)是否有解,
即要判斷方程在內(nèi)是否有解.
設(shè),
,
可見(jiàn),當(dāng)時(shí),在上恒成立.
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.
∵,
∴在和內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。
故函數(shù)g(x)=-無(wú)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,為棱、的三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)).
求證:(1)平面;
(2)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為方便金湖縣人民游覽三河風(fēng)景區(qū)附近的“網(wǎng)紅橋”,現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)A,已知射線(xiàn)PM, PN為兩邊夾角為120°的公路(長(zhǎng)度均超過(guò)5千米),在兩條公路PM,PN上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)B、C,在觀景臺(tái)A和游客上下點(diǎn)B、C之間和游客上下點(diǎn)B、C之間分別建造三條觀光線(xiàn)路AB,AC,BC,測(cè)得PB=3干米,PC=5千米.
(1)求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度;
(2)若∠BAC= 60°,因政府要計(jì)算修建三條觀光線(xiàn)路所需費(fèi)用,所以要計(jì)算AB,AC,BC三條線(xiàn)路的總長(zhǎng)度的取值范圍,請(qǐng)你建立合適的數(shù)學(xué)模型,幫助政府解決這個(gè)問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex-1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意x≥1,都有f(x)-mx-1+m≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 有極值,且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的最小值為,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,是兩條不同直線(xiàn),,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是 ( )
A. 若,垂直于同一平面,則與平行
B. 若,則
C. 若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn)
D. 若,不平行,則與不可能垂直于同一平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)表示在區(qū)間上最大值與最小值的差,求在區(qū)間上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)時(shí),,
(Ⅰ)求,,,;
(Ⅱ)猜想與的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市創(chuàng)業(yè)園區(qū)新引進(jìn)一家生產(chǎn)環(huán)保產(chǎn)品的公司,已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1盒的利潤(rùn)為0.3萬(wàn)元,當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品,每盒虧損0.12萬(wàn)元.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若該環(huán)保產(chǎn)品的月進(jìn)貨量為160盒,以(單位:盒,)表示該產(chǎn)品一個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)需求量,(單位:萬(wàn)元)表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤(rùn).
①將表示為的函數(shù);
②根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于39.6萬(wàn)元的概率.
(2)在頻率分布直方圖的月需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的月需求量,當(dāng)月進(jìn)貨量為158箱時(shí),寫(xiě)出月利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的所有可能值.
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