【題目】如圖，為方便金湖縣人民游覽三河風景區(qū)附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側建造一個觀景臺A，已知射線PM， PN為兩邊夾角為120°的公路(長度均超過5千米)，在兩條公路PM，PN上分別設立游客上下點B、C，在觀景臺A和游客上下點B、C之間和游客上下點B、C之間分別建造三條觀光線路AB，AC，BC，測得PB=3干米，PC=5千米.

（1）求線段BC的長度；

（2）若∠BAC= 60°，因政府要計算修建三條觀光線路所需費用，所以要計算AB，AC，BC三條線路的總長度的取值范圍，請你建立合適的數(shù)學模型，幫助政府解決這個問題.

【答案】（1）線段BC的長度為7千米；（2）

【解析】

（1）在△PBC中，利用余弦定理得到BC；
（2）設∠ABC＝，得到∠ACB＝120°，利用正弦定理將AC＋AB用表示，結合三角函數(shù)的有界性求范圍.

解：（1）在△PBC中，

由余弦定理得，

，
所以線段BC的長度為7千米；
（2）設∠ABC＝，因為∠BAC= 60°，所以∠ACB＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得，
，
因為，
所以，

因此

，
因為，所以 .

，則，

即，

，
所以AB，AC，BC三條線路的總長度的取值范圍.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓的左焦點為，離心率．

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)已知直線交橢圓C于A，B兩點．

①若直線經(jīng)過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足.求證：為定值；

②若，求面積的取值范圍.

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（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，討論函數(shù)零點的個數(shù).

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(2)若a＝2，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，求△ABC的面積.

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(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時直線的方程.

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【題目】某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進入決賽，把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7.

（1）求進入決賽的人數(shù)；

（2）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在8.5～10.5米之間，現(xiàn)甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率.

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【題目】如圖， 是平面四邊形的對角線， ， ，且.現(xiàn)在沿所在的直線把折起來，使平面平面，如圖.

（1）求證： 平面；

（2）求點到平面的距離.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．

（Ⅰ）當a＝1時，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當m＜0時，試判斷函數(shù)g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)）是否存在零點，并說明理由．

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【題目】已知橢圓的離心率,在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）已知動直線（斜率存在）與橢圓相交于點兩點,且的面積,若為線段的中點.點在軸上投影為,問：在軸上是否存在兩個定點,使得為定值,若存在求出的坐標;若不存在,請說明理由.

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