Question

【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且過點(diǎn).過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 為橢圓的左頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l的方程為x＝1.

【解析】試題分析：(1)利用橢圓和拋物線有一個(gè)公共焦點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行求解；(2) 聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式和基本不等式進(jìn)行求解.

試題解析：(1)因?yàn)閽佄锞�y2＝4x的焦點(diǎn)為(，0)，所以橢圓C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.　①

把點(diǎn)Q代入＋＝1，得＋＝1.　②

由①②解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.

(2)設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，代入＋y2＝1，

得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有y1＋y2＝－，y1y2＝－.

則|y1－y2|＝＝＝＝＝.令＝m(m≥)．易知函數(shù)y＝m＋在[，＋∞)上單調(diào)遞增，

則＋≥＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，即t＝0時(shí)，取等號(hào)．

所以|y1－y2|≤.所以△AMN的面積S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，

所以Smax＝，此時(shí)直線l的方程為x＝1.