Question

【題目】已知函數(shù) ，函數(shù) x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數(shù)y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負實數(shù)m、n，使得函數(shù) 的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴ ，

令u=mx2+2x+m，則 ，

當m=0時，u=2x， 的定義域為（0，+∞），不滿足題意；

當m≠0時，若 的定義域為R，

則 ，

解得m＞1，

綜上所述，m＞1

（2）

解： = ，x∈[﹣1，1]，

令 ，則 ，y=t2﹣2at+3，

∵函數(shù)y=t2﹣2at+3的圖象是開口朝上，且以t=a為對稱軸的拋物線，

故當 時， 時， ；

當 時，t=a時， ；

當a＞2時，t=2時，h（a）=ymin=7﹣4a．

綜上所述，

（3）

解： ，

假設存在，由題意，知

解得 ，

∴存在m=0，n=2，使得函數(shù) 的定義域為[0，2]，值域為[0，4]

【解析】（1）若 的定義域為R，則真數(shù)大于0恒成立，結合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論滿足條件的實數(shù)m的取值范圍，綜合討論結果，可得答案；（2）令 ，則函數(shù)y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化為：y=t2﹣2at+3， ，結合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論各種情況下h（a）的表達式，綜合討論結果，可得答案；（3）假設存在，由題意，知 解得答案．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是；當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．