Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）當時，求證；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在且為.

【解析】

（Ⅰ）要證明函數(shù)不等式（），注意到，因此我們可先研究函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性，這可通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定；

（Ⅱ）首先把不等式具體化，即不等式為，注意到特殊情形，時，不等式為，因此的值只有為1或2，因此只要證時，不等式恒成立即可，這仍然通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證得結(jié)論，為了確定導(dǎo)數(shù)的正負的方便性，把不等式變?yōu)?/span>，因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）當時，，則 ，

令，則 ，

令，得，故在時取得最小值，

在上為增函數(shù)，

，

（Ⅱ） ，

由，得對一切恒成立，

當時，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取1,2.

下面證明當時，不等式恒成立，

設(shè) ，則 ，

由（Ⅰ） ， ，

當時， ；當時， ，

即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

,

當時，不等式恒成立

所以的最大值是2.