【題目】如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij (i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合.對于,記ri (A)為A的第i行各數(shù)之積,cj (A)為A的第j列各數(shù)之積.令
a11 | a12 | … | a1n |
a21 | a22 | a2n | |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | ann |
(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;
(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;
(Ⅱ)用反證法證明:假設存在,得出矛盾,從而證明結論;
(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.
(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.
(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:
假如存在,使得.
因為,,
所以,,...,,,,...,這18個數(shù)中有9個1,9個-1.
令.
一方面,由于這18個數(shù)中有9個1,9個-1,從而①,
另一方面,表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個實數(shù)之積為m);
也表示m,從而②,
①,②相矛盾,從而不存在,使得.
(Ⅲ)記這個實數(shù)之積為p.
一方面,從“行”的角度看,有;
另一方面,從“列”的角度看,有;
從而有③,
注意到,,
下面考慮,,...,,,,...,中-1的個數(shù),
由③知,上述2n個實數(shù)中,-1的個數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為,則1的個數(shù)為2n-2k,
所以,
對數(shù)表,顯然.
將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表,顯然,
將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表,顯然,
依此類推,將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表,
即數(shù)表滿足:,其余,
所以,,
所以,
由k的任意性知,l(A)的取值集合為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解家長對學校食堂的滿意情況,分別從高一、高二年級隨機抽取了20位家長的滿意度評分,其頻數(shù)分布表如下:
滿意度評分分組 | 合計 | |||||
高一 | 1 | 3 | 6 | 6 | 4 | 20 |
高二 | 2 | 6 | 5 | 5 | 2 | 20 |
根據(jù)評分,將家長的滿意度從低到高分為三個等級:
滿意度評分 | 評分70分 | 70評分90 | 評分90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
假設兩個年級家長的評價結果相互獨立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機抽取1名家長,記事件:“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”,則事件發(fā)生的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年10月28日,重慶公交車墜江事件震驚全國,也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學習了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學習結果進行了相關的問卷調查,并將得到的分數(shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.
(1)求得分在上的頻率;
(2)求社區(qū)居民問卷調查的平均得分的估計值;(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)
(3)由于部分居民認為此項學習不具有必要性,社區(qū)委員會對社區(qū)居民的學習態(tài)度作調查,所得結果統(tǒng)計如下:(表中數(shù)據(jù)單位:人)
認為此項學習十分必要 | 認為此項學習不必要 | |
50歲以上 | 400 | 600 |
50歲及50歲以下 | 800 | 200 |
根據(jù)上述數(shù)據(jù),計算是否有的把握認為居民的學習態(tài)度與年齡相關.
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)
(1)若函數(shù)在上遞增,在上遞減,求實數(shù)的值.
(2))討論在上的單調性;
(3)若方程有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=﹣12,求f(x)在[1,3]的最小值;
(2)如果f(x)在定義域內既有極大值又有極小值,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若方程所表示的曲線為C,給出下列四個命題:
①若C為橢圓,則1<t<4且t≠;
②若C為雙曲線,則t>4或t<1;
③曲線C不可能是圓;
④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則1<t<.
其中正確的命題是________(把所有正確命題的序號都填在橫線上).
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