【題目】已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0

（1）當m為何值時，曲線C表示圓；

（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值。

【答案】（1）m<5；（2）m=.

【解析】試題分析：（1）由二元二次方程表示圓的條件D2+E2-4F大于0列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；（2）設(shè)出曲線與直線的交點M和N的坐標，聯(lián)立曲線C與直線的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，然后由OM與ON垂直得到M和N橫坐標之積與縱坐標之積的和為0，由直線方程化為橫坐標的關(guān)系式，把表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出m的值．

試題解析：

（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5

（2）設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.

將直線方程x+2y-4=0與曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得

5x2-8x+4m-16=0，由韋達定理得x1+x2=①,x1x2=②，

=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4

又由x+2y-4=0得y= (4-x),

∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.

將①、②代入得m=,滿足﹥ 0.

練習冊系列答案
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