如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)在正方體的對角線上，點(diǎn)在正方體的棱上．

當(dāng)點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動時，探究的最小值；

當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動時，探究的最小值；

當(dāng)點(diǎn)在對角線上運(yùn)動，點(diǎn)在棱上運(yùn)動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

 


（1）有最小值  （2）取得最小值  （3）最小值是


解析:

設(shè)正方體的棱長為．

當(dāng)點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)時，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)．

　　　．

當(dāng)時，的最小值為，即點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，有最小值．

因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/197/50997.gif">在對角線上運(yùn)動．是定點(diǎn)，所以當(dāng)

時，最短．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時，，是等腰三角形，所以，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，取得最小值．

當(dāng)點(diǎn)在對角線上運(yùn)動，點(diǎn)在棱上運(yùn)動

時，的最小值仍然是．

證明：如下圖，設(shè)，由正方體的對稱性，顯然有．

設(shè)在平面上的射影是．在中，，所以，即有．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

由已知，可設(shè)，則

．

當(dāng)時，取得最小值，最小值是．

練習(xí)冊系列答案
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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)P在正方體的對角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上．

(1)當(dāng)點(diǎn)P為對角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動時，探究的最小值；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線AB上運(yùn)動時，探究的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在對角線AB上運(yùn)動，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論，你能證明你的結(jié)論嗎？

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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，點(diǎn)P在對角線AB上運(yùn)動，點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)，探求|PQ|的最小值．

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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，點(diǎn)P在正方體的對角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上．

(1)當(dāng)點(diǎn)P為對角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)在Q在棱CD上運(yùn)動時，探究|PQ|的最小值；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對角線上運(yùn)動時，探究|PQ|的最小值．

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（Ⅱ）線段中點(diǎn)為，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離。

 

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