【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1各條棱長均為4,且AA1⊥平面ABC,D為AA1的中點(diǎn),M,N分別在線段BB1和線段CC1上,且B1M=3BM,CN=3C1N,
(1)證明:平面DMN⊥平面BB1C1C;
(2)求三棱錐B1﹣DMN的體積.
【答案】(1)證明見解析 (2)4.
【解析】
(1)取線段MN的中點(diǎn)O,線段BC的中點(diǎn)E,可證DO∥AE,以及DO⊥平面BB1C1C,即可證得結(jié)論;
(2)用等體積法轉(zhuǎn)化為以D頂點(diǎn),即可求出體積.
(1)證明:取線段MN的中點(diǎn)O,線段BC的中點(diǎn)E,連接DO,AE,OE,
由題意可得,OE(MB+CN)CC1.
因?yàn)?/span>D為AA1的中點(diǎn),所以ADAA1,
因?yàn)?/span>AA1∥CC1,AA1=CC1,
所以AD∥OE,AD=OE,
所以四邊形AEOD為平行四邊形,所以DO∥AE.
因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC,
因?yàn)?/span>AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AE,則AE⊥CC1,因?yàn)?/span>BC∩CC1=C,
所以AE⊥平面BB1C1C,則DO⊥平面BB1C1C,
因?yàn)?/span>DO平面DMN,所以平面DMN⊥平面BB1C1C.
(2)解:因?yàn)?/span>B1M=3BM,BB1=4,所以B1M=3.
所以△B1MN的面積S6.
由(1)可得,DO=AE2.
故三棱錐B1﹣DMN的體積為:
VV4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,分別為左,右焦點(diǎn),分別為左,右頂點(diǎn),原點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)點(diǎn)在第一象限,且軸,連接交橢圓于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若三角形的面積等于四邊形的面積,求直線的方程;
(3)求過點(diǎn)的圓方程(結(jié)果用表示).
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若不等式至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】給出以下命題:
① 雙曲線的漸近線方程為;
② 命題“,”是真命題;
③ 已知線性回歸方程為,當(dāng)變量增加個(gè)單位,其預(yù)報(bào)值平均增加個(gè)單位;
④ 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則;
⑤ 已知,,,,依照以上各式的規(guī)律,得到一般性的等式為,()
則正確命題的序號為 (寫出所有正確命題的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,多面體ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,則下面結(jié)論正確的是( 。
A.A1B∥B1C
B.平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1
C.平面CB1D1∥平面A1BD
D.異面直線AD與CB1所成的角為30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),是兩條不同的直線, ,,是三個(gè)不同的平面.有下列四個(gè)命題:
①若,,,則; ②若,,則;
③ 若,,,則;④ 若,,,則.
其中錯(cuò)誤命題的序號是
A. ①③ B. ①④ C. ②③④ D. ②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面BCD;
(Ⅱ)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者,工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示,該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成,點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)(異于,),點(diǎn)在線段上,且滿足.已知,,設(shè).
(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí),工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果;
(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí),取得最大值,并求該最大值.
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