【題目】已知 Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2an+n﹣4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an﹣1,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項公式,并證明: + +…+ <1.

【答案】
(1)解:∵Sn=2an+n﹣4,

∴a1=S1=2a1+1﹣4,即a1=3


(2)證明:∵Sn=2an+n﹣4,

∴當n≥2時,Sn1=2an1+n﹣5,

兩式相減得:an=2an﹣2an1+1,即an=2an﹣1,

變形,得:an﹣1=2(an1﹣1),

由(1)可知b1=a1﹣1=2,

故數(shù)列{bn}是首項、公比均為2的等比數(shù)列


(3)證明:由(2)可知an=2n+1,

= ,

+ +…+ + +…+ = <1


【解析】(1)直接令n=1代入計算即可;(2)通過Sn=2an+n﹣4與Sn1=2an1+n﹣5作差、變形可知an=2an﹣1,進而整理即得結(jié)論;(3)通過(2)放縮可知 ,進而利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解等比關(guān)系的確定(等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷).

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(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
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