Question

設P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，其中O是坐標原點．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程為

x2

100

+

y2

25

=1，n=3．點P₁（10，0）及S₃=255，求點P₃的坐標；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．點P₁（a，0），對于給定的自然數(shù)n，當公差d變化時，求S_n的最小值；
（3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P₁，對于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點P₁，P₂，…P_n存在的充要條件，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意可分別求得a₁和a₃，進而把橢圓方程和圓的方程聯(lián)立求得交點即P₃的坐標．
（2）根據(jù)原點O到二次曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上各點的最小距離為b，最大距離為a．根據(jù)a₁=a²，判斷d＜0，進而根據(jù)a_n≥b²，求得

b2-a2

n-1

≤d，進而判斷S_n在[

b2-a2

n-1

，0）上遞增，進而求得S_n的最小值．
（3）點P₁（a，0），則對于給定的n，點P₁，P₂，P_n存在的充要條件是d＞0．根據(jù)雙曲線的性質可知原點O到雙曲線C上各點的距離h的范圍，進而根據(jù)|OP₁|=a²推斷點P₁，P₂，P_n存在當且僅當|OP_n|²＞|OP₁|²符合．

解答：解：（1）a₁=|OP₁|²=100，由S₃=

3

2

（a₁+a₃）=255，得a₃=|OP₃|³=70．
由

x2 100 + y2 25 =1 x2+y2=70

，得

x2=60 y2=10

，
∴點P₃的坐標可以為（2

15

，

10

）．

（2）原點O到二次曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上各點的最小距離為b，最大距離為a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，
∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

2

＞0
∴S_n=na²+

n(n-1)

2

d在[

b2-a2

n-1

，0）上遞增，
故S_n的最小值為na²+

n(n-1)

2

•

b2-a2

n-1

=

n(a2+b2)

2

．

（3）若雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，點P₁（a，0），
則對于給定的n，點P₁，P₂，P_n存在的充要條件是d＞0．
∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[|a|，+∞），且|OP₁|=a²，
∴點P₁，P₂，P_n存在當且僅當|OP_n|²＞|OP₁|²，即d＞0．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質．涉及了圓錐曲線和函數(shù)的知識，考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．