Question

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個映射，點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q，記作Q=f（P）．設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一個圓，使所有的點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點(diǎn)P_n（x_n，y_n）的一個收斂圓．特別地，當(dāng)P₁=f（P₁）時，則稱點(diǎn)P₁為映射f下的不動點(diǎn)．若點(diǎn)P（x，y）在映射f下的象為點(diǎn)Q(-x+1，

1

2

y)．
（Ⅰ）求映射f下不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若P₁的坐標(biāo)為（2，2），求證：點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一個半徑為2的收斂圓．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為P₀（x₀，y₀），依據(jù)對應(yīng)關(guān)系及不動點(diǎn)的定義，解方程組

x0=-x0+1 y0= 1 2 y0

，可得不動點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=-xn+1 yn+1= 1 2 yn

，構(gòu)造兩個等比數(shù)列{xn-

1

2

}(n∈N^*）和{y_n}，
寫出它們的通項公式，設(shè)A(

1

2

， 1)，計算P_n到A的距離，可得此距離小于2，故所有的點(diǎn)P_n（n∈N^*）都在以A(

1

2

， 1)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)不動點(diǎn)的坐標(biāo)為P₀（x₀，y₀），
由題意，得

x0=-x0+1 y0= 1 2 y0

，解得x0=

1

2

， y0=0，
所以此映射f下不動點(diǎn)為P0(

1

2

， 0)．

（Ⅱ）證明：由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=-xn+1 yn+1= 1 2 yn

，
所以xn+1-

1

2

=-(xn-

1

2

)， yn+1=

1

2

yn，
因為x₁=2，y₁=2，
所以xn-

1

2

≠0， yn≠0，
所以

xn+1- 1 2

xn- 1 2

=-1， 

yn+1

yn

=

1

2

，
由等比數(shù)列定義，得數(shù)列{xn-

1

2

}(n∈N^*）是公比為-1，首項為x1-

1

2

=

3

2

的等比數(shù)列，
所以xn-

1

2

=

3

2

×(-1)n-1，則xn=

1

2

+(-1)n-1×

3

2

．
同理yn=2×(

1

2

)n-1．
所以Pn(

1

2

+(-1)n-1×

3

2

， 2×(

1

2

)n-1)．
設(shè)A(

1

2

， 1)，則|APn|=

( 3 2 )2+[1-2×( 1 2 )n-1]2

，
因為0＜2×(

1

2

)n-1≤2，
所以-1≤1-2×(

1

2

)n-1＜1，
所以|APn|≤

( 3 2 )2+1

＜2．
故所有的點(diǎn)P_n（n∈N^*）都在以A(

1

2

， 1)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，
即點(diǎn)P_n（x_n，y_n）存在一個半徑為2的收斂圓．

點(diǎn)評：本題考查映射的定義，構(gòu)造等比數(shù)列并求通項公式，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用．