Question

已知函數.

（Ⅰ）若在處取得極值，求實數的值；

（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）函數定義域為，．

由，得．             

當時，由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即在處取得極大值，符合題意。   

（Ⅱ）設，則當時，恒成立．

由，得．            

．方程有一負根和一正根，．其中不在函數定義域內．

在上是減函數，在上是增函數．即在定義域上的最小值為．                

依題意只需，即．又，所以，，. 所以，

即.               

令，則

當時，，所以是增函數。由，所以的解集為，即，所以．即的取值范圍是．

解法二：，即

設，則，

設，則，

當時，，是減函數

，即是減函數，         

當時，先證，

設，，

在上是增函數且，，即，

當時，

由，的最大值為2，即的取值范圍是．     

考點：函數的極值；解不等式

點評：求較復雜函數的性質，常用到導數。導數對求函數的單調區(qū)間、最值、不等式等問題都有很大作用。