(本小題滿分16分)
已知函數,
(1)若在上的最大值為,求實數的值;
(2)若對任意,都有恒成立,求實數的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設,對任意給定的正實數,曲線 上是否存在兩點,使得是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由。
(1)b=0;(2);(3)對任意給定的正實數,曲線 上總存在兩點,使得是以( 為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上.
【解析】
試題分析:(1)由,得,
令,得或.
列表如下:
0 |
||||||
|
0 |
0 |
||||
極小值 |
極大值 |
由,,,
即最大值為,. ………………………………5分
(2)由,得.
,且等號不能同時取,,
恒成立,即. ………………………………7分
令,求導得,,
當時,,從而,
在上為增函數,,. …………………10分
(3)由條件,,
假設曲線上存在兩點滿足題意,則只能在軸兩側,
不妨設,則,且.
是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,
, ,
是否存在等價于方程在且時是否有解. …………………12分
①若時,方程為,化簡得,
此方程無解;
②若時,方程為,即,
設,則,
顯然,當時,,即在上為增函數,
的值域為,即,
當時,方程總有解.
對任意給定的正實數,曲線 上總存在兩點,使得是以( 為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上.………………16分
考點:本題考查了導數在函數中的運用
點評:解此類題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽,這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識,注重數學思想(分類與整合、數與形的結合)方法(分析法、綜合法、反證法)的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合.
科目:高中數學 來源: 題型:
(2010江蘇卷)18、(本小題滿分16分)
在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點為A、B,右焦點為F。設過點T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、,其中m>0,。
(1)設動點P滿足,求點P的軌跡;
(2)設,求點T的坐標;
(3)設,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)。
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科目:高中數學 來源:2010年泰州中學高一下學期期末測試數學 題型:解答題
(本小題滿分16分)
函數,(),
A=
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果,對任意時,恒成立,求實數的范圍;
(Ⅲ)如果,當“對任意恒成立”與“在內必有解”同時成立時,求 的最大值.
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科目:高中數學 來源:2014屆江蘇大豐新豐中學高二上期中考試文數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分16分) 本題請注意換算單位
某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓,規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米。已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元,從第二層開始,每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元。
(1)若該寫字樓共x層,總開發(fā)費用為y萬元,求函數y=f(x)的表達式;
(總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用)
(2)要使整幢寫字樓每平方米開發(fā)費用最低,該寫字樓應建為多少層?
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科目:高中數學 來源:2013屆安徽省蚌埠市高二下學期期中聯(lián)考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分16分)設命題:方程無實數根; 命題:函數
的值域是.如果命題為真命題,為假命題,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2010年江蘇省高一第三階段檢測數學卷 題型:解答題
(本小題滿分16分)
已知函數f(x)=為偶函數,且函數y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)將函數y=f(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標延長到原來的4倍,縱坐標不變,得到函數y=g(x)的圖象,求g(x)的單調遞減區(qū)間.
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