Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心，半徑r=2，Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)。
（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（II）若P在直線OQ上運(yùn)動(dòng)，且OQ∶OP=3∶2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

Answer 1

（I）；（II）

本試題主要考查了圓的極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，以及余弦定理的綜合運(yùn)用。
(1) 因?yàn)閳AC的圓心，半徑r=2，Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng),由設(shè)圓C上任意一點(diǎn)M(r,q)，則在三角形OCM中，由余弦定理得
整理得到方程。
(2)因?yàn)镻在直線OQ上運(yùn)動(dòng)，且OQ∶OP=3∶2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(r,q),Q(r₀,q₀)，依題意可知：
可知點(diǎn)Q滿(mǎn)足的關(guān)系式得到所求的軌跡方程。
解：（I）設(shè)圓C上任意一點(diǎn)M(r,q)，則在三角形OCM中，由余弦定理得

即：
整理即可得圓C的極坐標(biāo)方程為：
（II）設(shè)P(r,q),Q(r₀,q₀)，依題意可知：
代入得
化簡(jiǎn)得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：