【題目】如圖，在三棱柱中，，，為的中點，點在平面內的射影在線段上.

(1)求證：；

(2)若是正三角形，求三棱柱的體積.

【答案】（1）見證明；(2)

【解析】

（1）分別證明和，結合直線與平面垂直判定，即可。（2）法一：計算，結合和，即可。法二 :計算，結合，計算體積，即可。法三：結合，計算結果，即可。

(1)證明：設點在平面內的射影為，

則，，且，因，所以.

在中，，，

則，在中，，，

則，

故，故.

因，故.

(2)法一、，

由(1)得，故是三棱錐的高，

是正三角形，，，

，

，

故三棱柱的體積，故三棱柱的體積為.

法二、將三棱柱補成四棱柱如圖，因且高一樣，

故，

故，

由(1)得，故是四棱柱的高，

故，

故，故三棱柱的體積為.

法三、在三棱錐中，由(1)得，是三棱錐的高，6分

記到平面的距離為，

由得，即，

為的中點，故到平面的距離為，

.

故三棱柱的體積為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若，證明：；

（3）若，直線與曲線相切，證明：.

（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)當時，若在區(qū)間上的最小值為-2，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在內單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點分別為，，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對由個、個和個排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個字母）.若其頭上的兩個字母不同，則在該位置寫上第三個字母；若其頭上的兩個字母相同，則在該位置寫上該字母.對新得到的行重復上面的操作，直到變?yōu)橐粋�字母為止.圖給出了的一個例子.

求所有的正整數(shù)，使得對任意的初始排列，經(jīng)上述操作后，所得到的三角形的三個頂點上的字母要么全相同，要么兩兩不同.

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【題目】已知函數(shù)（）

(1)若是的極值，求的值，并求的單調區(qū)間。

(2)若時，，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， ）. 以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.

（1）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上所有的點均在直線的右下方，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，， ．

（1）證明：；

（2）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線交于不同的兩點、，求的值.

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