Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（1）若直線l₂的方程為3x+4y+75=0，判斷直線l₂與圓C的位置關(guān)系；
（2）若直線l₁過定點A（1，0），且與圓C相切，求l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的標準方程找出圓心C的坐標與圓的半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l₂的距離d，與半徑r比較大小即可判斷直線l₂與圓C的位置關(guān)系；
（2）當直線l₁的斜率不存在時，直線x=1滿足題意；當斜率存在時，設(shè)斜率為k，表示出直線l₁方程，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l₁方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l₁方程．

解答：解：（1）由圓的方程得到圓心C（3，4），半徑r=2，
∵圓心C到直線l₂：3x+4y+75=0的距離d=

9+16+75

5

=20＞2=r，
∴直線l₂與圓C的位置關(guān)系為相離；
（2）當直線l₁斜率不存在時，顯然直線x=1滿足題意；
當直線l₁斜率存在時，設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵直線l₁與圓C相切，
∴圓心到直線l₁的距離d=r，即

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，即直線l₁為

3

4

x-y-

3

4

=0，即3x-4y-3=0，
綜上，直線l₁的方程為直線x=1或3x-4y-3=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的切線方程，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，此外注意第二問考慮兩種情況．