Question

【題目】如圖，在正四棱柱，中，．

（1）求異面直線與所成角的大�。�

（2）若是線段上（不含線段的兩端點(diǎn)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)與三棱錐體積有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（注：三棱錐需以點(diǎn)和已知正四棱柱八個(gè)頂點(diǎn)中的三個(gè)為頂點(diǎn)構(gòu)成）；并解答所提出的問(wèn)題．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）連接，為異面直線與所成角，在中利用余弦定理求異面直線所成角的大�。�

（2）本小題是開放題，第一種：提出問(wèn)題，證明三棱錐的體積為定值，

第二種：提出問(wèn)題：三棱錐的體積在點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)程中單調(diào)遞增，并證明.

（1）如圖，連接，由，且，

知四邊形是平行四邊形，則

所以為異面直線與所成角，

在中，，，

則,

，

（2）提出問(wèn)題1：證明三棱錐的體積為定值.

回答問(wèn)題：如圖，平面，

上任一點(diǎn)到平面的距離相等，點(diǎn)到平面的距離是，

因此三棱錐.

所以三棱錐的體積為定值.

說(shuō)明：若是在側(cè)面上任取三個(gè)頂點(diǎn)，與點(diǎn)構(gòu)成三棱錐時(shí)，結(jié)論類似；

提出問(wèn)題2：三棱錐的體積在點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)程中單調(diào)遞增，并且求的范圍.

問(wèn)題解答：因?yàn)?/span>

是定值8，且,

即三棱錐的體積在點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)程中單調(diào)遞增，并且