【題目】設(shè)直線l:y=2x﹣1與雙曲線,)相交于A、B兩個不

同的點,且(O為原點).

(1)判斷是否為定值,并說明理由;

(2)當雙曲線離心率時,求雙曲線實軸長的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)為定值5.將直線y=2x﹣1與雙曲線的方程聯(lián)立,運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標表示,化簡整理即可得到定值;

(2)運用雙曲線的離心率公式和(1)的結(jié)論,解不等式即可得到所求實軸的范圍.

(1)為定值5.

理由如下:y=2x﹣1與雙曲線聯(lián)立,

可得(b2﹣4a2)x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0,(b≠2a),

即有△=16a4+4(b2﹣4a2)(a2+a2b2)>0,

化為1+b2﹣4a2>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=,x1x2=,由(O為原點),可得

x1x2+y1y2=0,即有x1x2+(2x1﹣1)(2x2﹣1)=5x1x2﹣2(x1+x2)+1=0,

即5﹣2+1=0,

化為5a2b2+a2﹣b2=0,即有=5,為定值.

(2)由雙曲線離心率時,

即為,即有2a2<c2<3a2

由c2=a2+b2,可得a2<b2<2a2,即

=5,可得﹣5<,化簡可得a<,

則雙曲線實軸長的取值范圍為(0,).

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