Question

（18分）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使.

(1)求曲線的方程；

(2)求實(shí)數(shù)的值；

(3)求實(shí)數(shù)的值。

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為……6分

（2）設(shè)，由題意建立方程組，

消去，得，

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

 ，解得，                          ……10分

又∵

依題意得 ，整理后得 ，

∴或，但∴，                   ……14分

（3）設(shè)，由已知，得，

∴，

又，，

∴點(diǎn)曲線上，所以，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得，

∴.                                                       ……18分

考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直接法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系和弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用等，考查學(xué)生對(duì)問題的理解能力和轉(zhuǎn)化能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的綜合問題一般難度較大，主要是運(yùn)算量較大，要注意“舍而不求”思想的應(yīng)用.