Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明：關于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當時函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求得導函數(shù)，對分類討論：當時，易得，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；當時，令，求得極值點，即可判斷在極值點左右兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性.

（2）將解析式代入，移項后構(gòu)造函數(shù).求得導函數(shù).根據(jù)可知，因而構(gòu)造函數(shù)，求得導函數(shù)，可判斷的單調(diào)性，進而由單調(diào)性與最值得，即.由討論的取值情況，判斷的單調(diào)性，并求得最值，即可證明，從而證明不等式成立.

（1）函數(shù)，

則；

若，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減；

若，令，解得，

故當時，；

當時，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）證明：要證，即證，

令，

則，

當時，，

令，則當時，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即；

∴.

當時，，當時，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

即，

故關于的不等式在上恒成立.