Question

【題目】在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的（ ）

A.若點(diǎn)P總滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓

C.若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓

D.若點(diǎn)P到直線AD與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

A.根據(jù)平面，判斷點(diǎn)的軌跡；B.根據(jù)平面與球相交的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)；C.由條件可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)橢圓的定義判斷；D.由條件建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡方程，判斷軌跡是否是雙曲線.

A.在正方體中，平面，

所以，所以平面，

平面，所以，

同理，所以平面，

而點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，且，

所以點(diǎn)的軌跡就是直線，故A正確；

B.點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，

即點(diǎn)的軌跡為小圓，設(shè)小圓的半徑為，

球心到平面的距離為1，則，

所以小圓周長(zhǎng)，故B正確；

C. 點(diǎn)P到直線AB的距離就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，

即平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，

即滿足條件的點(diǎn)的軌跡就是線段，不是橢圓，故C不正確；

D.如圖，過分別做于點(diǎn)，于點(diǎn)，

則平面，所以，過做，連結(jié)，

，所以平面，所以，

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，

，則，，

即，整理為：，

則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故D正確.

故選：ABD