Question

已知集合A＝{x|x＝a₀＋a₁×3＋a₂×3²＋a₃×3³}，其中a_k∈{0,1,2}(k＝0,1,2,3)，且a₃≠0，則A中所有元素之和等于(　　)

A．3 240	B．3 120
C．2 997	D．2 889

Answer 1

D

可利用排除法，若a₃也可以取0，則a₀，a₁，a₂，a₃都可取0,1,2，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知這樣的數(shù)共有3×3×3×3＝81(個(gè))，顯然0,1,2這3個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字要重復(fù)27次，故這些元素的和為27×(3＋3×3＋3×3²＋3×3³)＝27×120＝3 240；
當(dāng)a₃＝0時(shí)，a₀，a₁，a₂可取0,1,2，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知這樣的數(shù)共有3×3×3＝27(個(gè))，而0,1,2這3個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字要重復(fù)9次，故這些元素的和為9×(3＋3×3＋3×3²)＝9×39＝351.
所以集合A中所有元素的和為3 240－351＝2 889.