【題目】如圖,已知是直角梯形, , , , , 平面.
(Ⅰ)上是否存在點使平面,若存在,指出的位置并證明,若不存在,請說明理由;(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)若,求點到平面的距離.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)當為中點時滿足題意,理由如下:
取的中點為,連結.由題意結合幾何關系可證得平面平面.理由面面平行的性質定理可得平面.
(Ⅱ)由題意結合勾股定理可得.理由幾何關系有.據此可得平面,則.
(Ⅲ)由題意可得: .且,理由體積相等轉化頂點可得到平面的距離為.
試題解析:
(Ⅰ)當為中點時滿足題意
理由如下:
取的中點為,連結.
∵, ,
∴,且,
∴四邊形是平行四邊形,
即.
∵平面,
∴平面.
∵分別是的中點,∴,
∵平面,
∴平面.
∵,
∴平面平面.
∵平面,
∴平面.
(Ⅱ)由已知易得, .
∵,
∴,即.
又∵平面, 平面,
∴.
∵,
∴平面
∵平面,
∴.
(Ⅲ)由已知得,所以.
又,則,由得,
∵,
∴到平面的距離為.
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【題目】在直角坐標系中,設傾斜角為的直線的參數方程為(為參數)與曲線(為參數)相交于不同的兩點、.
(1)若,求線段的中點的直角坐標;
(2)若直線的斜率為,且過已知點,求的值.
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【題目】已知函數f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數y=f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)討論函數f(x)在上的單調性.
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【題目】根據國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》規(guī)定:居民區(qū)的年平均濃度不得超過3S微克/立方米, 的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天的24小時平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測數據,數據統(tǒng)計如圖表:
組別 | 濃度(微克/立方米) | 頻數(天) | 頻率 |
第一組 | 3 | 0.15 | |
第二組 | 12 | 0.6 | |
第三組 | 3 | 0.15 | |
第四組 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)將這20天的測量結果按表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.
(。┣髨D中的值;
(ⅱ)在頻率分布直方圖中估算樣本平均數,并根據樣本估計總體的思想,從的年平均度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質量是否需要改善?并說明理由.
(Ⅱ)將頻率視為概率,對于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質量標準的天數為,求的分布列和數學期望.
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【題目】如圖,三棱柱中,側棱平面, 為等腰直角三角形, ,且, 分別是的中點.
(1)若是的中點,求證: 平面;
(2)若是線段上的任意一點,求直線與平面所成角正弦的最大值.
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【題目】若直角坐標平面內兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數y=f(x)的圖象上;②P,Q關于原點對稱,則稱(P,Q)是函數y=f(x)的一個“伙伴點組”(點組(P,Q)與(Q,P)看作同一個“伙伴點組”).已知函數f(x)=有兩個“伙伴點組”,則實數k的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B. (0,1)
C. D. (0,+∞)
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