Question

（2008•閘北區(qū)一模）如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求異面直線EF與BD所成的角β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證PA⊥平面ABCD，只需證明PA垂直平面ABCD上的兩條相交直線，再根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD，則再平面PAD上作交線AD的垂線，一定垂直平面ABCD，由，∠PAD=90°，問題得證．
（Ⅱ）欲求EF和平面ABCD所成的角的大小，即求直線EF與它在平面ABCD內(nèi)的射影所成角的大小，由已知找到直線EF在平面ABCD內(nèi)的射影，再把角放入三角形中通過解三角形，解出此角即可．
（Ⅲ）欲求異面直線EF與BD所成的角的大小，只需平移兩條異面直線中的一條，使它們成為相交直線，則相交直線所成的銳角或直角，就是異面直線所成角，再放入三角形中，通過解三角形，求出此角．

解答：解（Ⅰ）證明：由已知PA⊥AD，AB⊥AD，
所以∠PAB為平面PAD與平面ABCD所成二面角的平面角，
由已知：平面PAD⊥平面ABCD，得PA⊥AB
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，且AB與AD相交
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AF，則∠AFE即為α，
在△AFE中，可求得α=arctan

5

5

（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)M，連接EM、FM，則FM∥BD，
∴∠EFM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BD所成的角．
可求得EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EF=

6

，又FM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MFE中，cos∠EFM=

EF2+FM2-ME2

2EF•FM

=

3

6

，
故異面直線EF與BD所成角為arccos

3

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了立體幾何中，線面垂直的證明，以及線面角，異面直線所成角的求法，屬于立體幾何中的常規(guī)題．