Question

（2008•閘北區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

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an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）對任意實數(shù)λ，證明：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）對于給定的實數(shù)λ，試求數(shù)列{b_n}的通項公式，并求S_n．
（3）設0＜a＜b（a，b為給定的實常數(shù)），是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設存在一個實數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，由題意知（

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λ-3）²=λ(

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λ-4)?

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9

λ² -4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（2）研究數(shù)列相鄰兩項，看相鄰項的關(guān)系，以確定數(shù)列b_n的性質(zhì)，然后求出其通項公式；最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式并求S_n
（3）求出數(shù)列的前n項和，然后根據(jù)形式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，則參數(shù)的范圍易知．

解答：證明：（1）假設存在一個實數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₃，
即（

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λ-3）²=λ(

4

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λ-4)?

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，
矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（2）因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

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a_n-2n+14）
=-

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（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

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b_n
當λ≠-18時，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

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（n∈N⁺）．
故當λ≠-18時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

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為公比的等比數(shù)列．bn=-(λ+18)•(-

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)n-1，Sn=-

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(λ+18)(1-(-

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)n)
當λ=-18時，b_n=0，S_n=0
（3）由（2）知，當λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，
要使a＜S_n＜b對任意正整數(shù)n成立，
即a＜-

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5

（λ+18）•[1-（-

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）ⁿ]＜b（n∈N⁺）…①

得 a 1-(- 2 3 )n ＜- 3 5 (λ+18)＜ b 1-(- 2 3 )n 令f(n)=1-(- 2 3 )n，則

當n為正奇數(shù)時，1＜f（n）≤

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；當n為正偶數(shù)時，

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≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=

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3

，f（n）的最小值為f（2）=

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9

，
于是，由①式得

9

5

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

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b?-b-18＜λ＜-3a-18．
當a＜b≤3a時，由-b-18≥=-3a-18，不存在實數(shù)滿足題目要求；
當b＞3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．

點評：本題屬于數(shù)列綜合運用題，考查了由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì)，對所給的遞推關(guān)系進行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．