【題目】設函數(shù)f(x)=﹣ x3+x2+(m2﹣1)x,(x∈R),其中m>0.
(1)當m=1時,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率;
(2)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.

【答案】
(1)解:當m=1時,f(x)=﹣ x3+x2,f′(x)=﹣x2+2x,故f′(1)=1.

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1


(2)解:f′(x)=﹣x2+2x+m2﹣1.

令f′(x)=0,解得x=1﹣m,或x=1+m.

因為m>0,所以1+m>1﹣m.

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(﹣∞,1﹣m)

1﹣m

(1﹣m,1+m)

1+m

(1+m,+∞)

f′(x)

0

+

0

f(x)

遞減

極小值

遞增

極大值

遞減

所以f(x)在(﹣∞,1﹣m),(1+m,+∞)內是減函數(shù),在(1﹣m,1+m)內是增函數(shù).

函數(shù)的極小值為:f(1﹣m)=﹣ m3+m2 ;

函數(shù)的極大值為:f(1+m)=


【解析】(1)由已知中函數(shù)f(x)=﹣ x3+x2+(m2﹣1)x,根據(jù)m=1,我們易求出f(1)及f′(1)的值,代入點斜式方程即可得到答案.(2)由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù),令導函數(shù)值為0,我們則求出導函數(shù)的零點,根據(jù)m>0,我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間,分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號,即可得到函數(shù)的單調區(qū)間.
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,掌握若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導;一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減即可以解答此題.

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