Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)為橢圓的中線，點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線上的點(diǎn)滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）利用橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；

（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合求出C的坐標(biāo)，寫出BD、OC的直線方程，利用消參法求軌跡.

因?yàn)闄E圓的離心率，且，所以.

又.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)直線的方程為（當(dāng)存在時(shí)，由題意），代入，并整理得.

解得，于是，即.

設(shè)，則.

由已知得，得，解得，于是.

又，

由兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的方程為.

又由點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程為.

兩式相乘，消去參數(shù)得.（如果只求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，此步不得分）

又當(dāng)不存在時(shí)，四點(diǎn)重合，此時(shí)也滿足題意.

故直線與的交點(diǎn)的軌跡方程.