【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進(jìn)行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線(xiàn)，所成角為，現(xiàn)欲在海岸線(xiàn)，上分別取點(diǎn)，修建海堤，以便圍成三角形陸地，已知海堤長(zhǎng)為6千米.

（1）如何選擇，的位置，使得的面積最大；

（2）若需要進(jìn)一步擴(kuò)大圍海造陸工程，在海堤的另一側(cè)選取點(diǎn)，修建海堤，圍成四邊形陸地.當(dāng)海堤與的長(zhǎng)度之和為10千米時(shí)，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時(shí)，最大面積為（平方千米）；

（2）四邊形面積的最大值為（平方千米）.

【解析】

（1）設(shè)，，由余弦定理得：，

因?yàn)?/span>，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；

（2）要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)10的橢圓（夾在兩海岸線(xiàn)，區(qū)域內(nèi)的曲線(xiàn)），根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出點(diǎn)到距離的最大值即可得到最大面積.

（1）設(shè)，，（單位：千米）

在中，由余弦定理得：，

因?yàn)?/span>，，，，

所以，，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，

此時(shí)，（平方千米）.

所以，當(dāng)，兩點(diǎn)距離點(diǎn)都為千米時(shí)，的面積最大，最大面積為（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四邊形面積的最大值，只需求面積的最大值.

在中，，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)10的橢圓（夾在兩海岸線(xiàn)，區(qū)域內(nèi)的曲線(xiàn)），

以所在直線(xiàn)為軸，的垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)所在的橢圓方程為，焦距為，

由，得：，

所以點(diǎn)所在的橢圓方程為.

設(shè)，則，因?yàn)?/span>，

所以（平方千米），當(dāng)且僅當(dāng)（千米）時(shí)取得等號(hào).

所以，四邊形面積的最大值為（平方千米）.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；

④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值；

⑤當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值．

則上述判斷中正確的是(　　)

A. ①② B. ②③

C. ③④⑤ D. ③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若存在實(shí)數(shù)使得則稱(chēng)是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)．

（1）求證：的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)；

（2）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：求證：存在，使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)；

（3）給定實(shí)數(shù)，若對(duì)于任意區(qū)間，是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)，是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)，且不等式和不等式對(duì)于任意都恒成立，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

C.的最大值為D.是周期函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列命題：

（1）存在實(shí)數(shù)使；

（2）直線(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；

（3）（）的值域是；

（4）若，都是第一象限角，且，則．

其中正確命題的序號(hào)為（ ）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．

（1）求的極坐標(biāo)方程；

（2）將曲線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，若與的交點(diǎn)為（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），與的交點(diǎn)為，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若存在常數(shù) k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得無(wú)窮數(shù)列 {a n }滿(mǎn)足a n +1，則稱(chēng)數(shù)列{an }為“段差比數(shù)列”，其中常數(shù) k、d、t 分別叫做段長(zhǎng)、段差、段比．設(shè)數(shù)列 {bn }為“段差比數(shù)列”．

（1）已知 {bn }的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比數(shù)列，求 d 、 t 的值；

（2）已知 {bn }的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為1、3 、3 、1，其前 3n 項(xiàng)和為 S3n ．若不等式 S3n≤ λ 3n1對(duì) n ∈ N *恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍；

（3）是否存在首項(xiàng)為 b，段差為 d（d ≠ 0 ）的“段差比數(shù)列” {bn }，對(duì)任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的 {bn }的段長(zhǎng) k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t )；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且其前項(xiàng)和滿(mǎn)足？若存在，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“阿當(dāng)數(shù)列”，，，當(dāng)數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列是否為“阿當(dāng)數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①對(duì)任意的恒有成立；②當(dāng)時(shí)，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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