【題目】若存在實(shí)數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn).
(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(3)給定實(shí)數(shù),若對于任意區(qū)間,是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),且不等式和不等式對于任意都恒成立,求證:
【答案】(1)證明過程見解析 (2)證明過程見解析 (3)證明過程見解析
【解析】
(1)先理解定義,再由已知證明的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)用作差法判斷的大小關(guān)系,得,結(jié)合(1)即可得證;
(3)由已知可得恒成立,由二次不等式恒成立問題可得,且,解得,同理,即可得解.
解:(1)①若是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),
則存在實(shí)數(shù)使得,則,
②若,取,則,且,
則是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),
故的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)由,,
則,由(1)知,存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(3)因?yàn)?/span>是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),則
則恒成立,
則恒成立,
當(dāng)時(shí),上式不可能恒成立,
因此,
所以,
即,即 ,
同理,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓,為橢圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn).
(i)求的值;
(ⅱ)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件,每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元,固定成本為80元.從今年起,工廠投入100萬元科技成本,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件,每件水晶產(chǎn)品的固定成本與科技成本的投入次數(shù)的關(guān)系是=.若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變,第次投入后的年利潤為萬元.①求出的表達(dá)式;②問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè),曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為,求的最小值;
(Ⅱ)若只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線距離小
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,它們與(Ⅰ)中軌跡分別交于點(diǎn)及點(diǎn),且分別是線段的中點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,為兩個(gè)不同的平面,,為兩條不同的直線,有以下命題:
①若,,則.②若,,則.③若,,則.④若,,,則.
其中真命題有()
A.①②B.①③C.②③D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,其次品率與日產(chǎn)量(萬件)之間滿足關(guān)系:()已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量)
(1)試將生產(chǎn)這種儀器元件每天的盈利額(萬元)表示為日產(chǎn)量(萬件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出其極值;
若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn)P.且與橢圓交于A,B兩點(diǎn).A為橢圓的右頂點(diǎn),B在x軸上的射影恰為。
(1)求橢圓E的方程;
(2)M為橢圓E在第一象限部分上一點(diǎn),直線MP與橢圓交于另一點(diǎn)N,若,求的取值范圍.
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