【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PB、PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1、,AP=2,E、F依次是PB、PC的中點(diǎn).

(1)求證:PB平面AEFD;

(2)求直線EC與平面PAD所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)由PA⊥平面ABCD,得AD⊥PA,結(jié)合AD⊥AB,得AD⊥平面PAB,從而AD⊥PB,由PB與平面ABCD所成角的正切值為1,可得AB=AP,最后根據(jù)△PAB中,中線AE⊥PBAE、AD是平面AEFD內(nèi)的相交直線,證出PB⊥平面AEFD;(2)根據(jù)PD與平面ABCD所成角的正切值是,即可求得AD,PA中點(diǎn)G,CD中點(diǎn)H,連接EG、GH、GD,證明∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角,求出GH,即可求出直線EC與平面PAD所成角的正弦值.

(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形

∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB 因?yàn)?/span>PA平面ABCD,

故得到PD與平面ABCD所成角為角PBA,正切值為1,故得到AB=AP;

∵EPB的中點(diǎn),AB=AP,∴AE⊥PB

∵AB∩AE=A,

∴PB⊥平面AEFD

(2)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD, PD與平面ABCD所成角的正切值是,即角PDA的正切值為,故得到 進(jìn)而得到AD=4,

∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA,

CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,

PA中點(diǎn)G,CD中點(diǎn)H,連接EG、GH、GD,

EG∥AB∥CD,

∴EGHC是平行四邊形,∴EC∥HG

∴∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角

Rt△GAD中, ,故得到,,

∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為

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日車流量x

0≤x<5

5≤x<10

10≤x<15

15≤x<20

20≤x<25

x≥25

頻率

0.05

0.25

0.35

0.25

0.10

0

將日車流量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的車流量相互獨(dú)立.
(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日車流量都不低于10萬輛且另1天的日車流量低于5萬輛的概率;
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