Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝[x2﹣（a+4）x+3a+4]ex，

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）求證不等式（x3﹣6x2+10x）ex＞10（lnx+1）成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，討論a與2的大小關(guān)系，解導(dǎo)不等式，得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，故原不等式可化為f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），求出f（x）和g（x）的值域，比較即可．

（1）f'（x）＝ex（x﹣a）（x﹣2），x∈R，

當(dāng)a＜2時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，a]，（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，2]，（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當(dāng)a＝2時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增；

（2）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝（x2﹣6x+10）ex，

故原不等式可化為f（x）＞g（x），其中g（x）＝10（），

由（1）知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝10，

對(duì)于g（x）＝10（），g'（x），

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減；

故g（x）的最大值為g（1）＝10，

故f（x）＞g（x）成立，

原命題得證.