Question

若函數(shù)f（x）=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，若f（a）＜f（-a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜0，f（a）=log₂a，f（-a）=log

1

2

a，解不等式f（a）＜f（-a）求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
當(dāng)a＜0 時(shí)，-a＞0，f（a）=log

1

2

( -a)，f（-a）=log₂（-a），由f（a）＜f（-a）求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
再把a(bǔ)的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：由函數(shù)f（x）的解析式可得，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜0，f（a）=log₂a，f（-a）=log

1

2

a，
由f（a）＜f（-a）得  log₂a＜log

1

2

a=log2

1

a

，∴a＜

1

a

，解得 1＞a＞0．
當(dāng)a＜0 時(shí)，-a＞0，f（-a）=log

1

2

( -a)，f（a）=log₂（-a），
由f（a）＜f（-a）得 log

1

2

( -a)＜log₂（-a），即 log2(

1

-a

)＜log₂（-a），∴

1

-a

＜-a，解得 a＜-1．
綜上得：0＜a＜1，或a＜-1，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，分段函數(shù)的解析式的應(yīng)用，屬于中檔題．