【題目】設函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的單調性;

(2)設,記,當時,若方程有兩個不相等的實根, ,證明.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析:

(1)求解函數(shù)的導函數(shù),分類討論可得:

①若時,當時,函數(shù)單調遞減,當時,函數(shù)單調遞增;

②若時,函數(shù)單調遞增;

③若時,當時,函數(shù)單調遞減,當時,函數(shù)單調遞增.

(2)構造新函數(shù) ,結合新函數(shù)的性質即可證得題中的不等式.

試題解析:

(1)由,可知 .

因為函數(shù)的定義域為,所以,

①若時,當時, ,函數(shù)單調遞減,當時, ,函數(shù)單調遞增;

②若時,當內恒成立,函數(shù)單調遞增;

③若時,當時, ,函數(shù)單調遞減,當時, ,函數(shù)單調遞增.

(2)證明:由題可知 ,

所以 .

所以當時, ;當時, ;當時, .

欲證,只需證,又,即單調遞增,故只需證明.

, 是方程的兩個不相等的實根,不妨設為,

兩式相減并整理得 ,

從而

故只需證明,

.

因為

所以(*)式可化為,

.

因為,所以,

不妨令,所以得到 .

, ,所以,當且僅當時,等號成立,因此單調遞增.

,

因此 ,

, 得證,

從而得證.

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