【題目】已知.

（1）試求在上的最大值；

（2）已知在處的切線與軸平行，若存在，，使得，證明：.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后對分類討論，判斷單調(diào)性，求解即可.

（2）由題意可知，，則，從而確定單調(diào)性，再根據(jù)的正負(fù)，確定其函數(shù)的大致圖像，從而確定有，要證，只需證，只需證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，即可.

（1），

當(dāng)時(shí)，則對任意恒成立，即恒成立.

所以在單調(diào)遞增.

則的最大值為；

當(dāng)時(shí)，令，即

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，.

當(dāng)即時(shí)，對任意恒成立，

即恒成立，所以在單調(diào)遞增.

則的最大值為；

綜上所述：當(dāng)時(shí)；

當(dāng)時(shí).

（2）因?yàn)?/span>在處的切線與軸平行，

所以，則，即.

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>時(shí)有；時(shí)有，

根據(jù)圖象可知，若，則有；

要證，只需證；

又因?yàn)?/span>，所以；

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，從而只需證明，

只需證

只需證

設(shè)，則.

由的單調(diào)性可知，.

則，即.

所以，即在上單調(diào)遞增.

所以.

從而不等式得證.

練習(xí)冊系列答案
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試銷價(jià)格(元)

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