【題目】已知函數
，
是
的導函數.
（1）若
，當
時，函數在
內有唯一的極大值，求
的取值范圍；
（2）若
，
，試研究
的零點個數.
【答案】（1）
；（2）
有
個零點
【解析】
（1）先求導得
，再分
和
兩種情況討論求得
的取值范圍；（2）分析可知，只需研究
時零點的個數情況，再分
兩種情形討論即可.
（1）當
時，
，
，
在
是減函數，且
，
，
①，當
，時，
恒成立，
在是增函數，無極值；
②，當
，時，
，使得
，
，
，單調遞增；
，
，單調遞減，
為唯一的極大值點，所以
（2）
，
，
，
，可知，
（i）
時，
，無零點；所以只需研究，
，
（ii）
時，
，可知單調遞減，
，
，
唯一的
，
；
（iii）當
，
是減函數，且
，
，
則
，
，
在
是增函數，
是減函數，并且
，
，
，
所以
，
；
，
，且知在
單調遞減，在
單調遞增，在
單調遞減.
又因為
，
，
，所以
，
，
，
，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知
km,
,為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．
（I）按下列要求寫出函數關系式：
①設
，將
表示成
的函數關系式；
②設
，將表示成
的函數關系式．
（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；
（2）已知曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線與的交點，點
是曲線與的交點，、均異于原點，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的左右焦點分別為
，
的周長為12．
（1）求點
的軌跡
的方程．
（2）已知點
，是否存在過點
的直線
與曲線交于不同的兩點
，使得
，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．
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