Question

【題目】已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，的周長為12．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程．

（2）已知點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，答案見解析.

【解析】

（1）依題意根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡為橢圓，（除去與x軸的交點(diǎn)），

設(shè)方程為，由，，求出即可得到橢圓方程；

（2顯然直線的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓無交點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，由求出的取值范圍，設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)，列出韋達(dá)定理，表示出，由又，得到，得到方程判斷方程的解即可；

解：（1）由題意可得，，

∴，

又∵的周長為12，

∴，

∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），

設(shè)方程為，

∴，∴，

∴，

∴點(diǎn)的軌跡C的方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓無交點(diǎn)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，

則，

聯(lián)立，

得，

由，

解得，且．

設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)

∵，∴

又∵，∴，

∵

∴，此方程無解．

綜上所述，不存在直線使得．