Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）試判斷f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）若f （x）為定義域上的奇函數(shù)，求函數(shù)f （x）的值域．

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）f （x）是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；

（2）用奇函數(shù)的性質(zhì)先求出a，再求函數(shù)f （x）的值域．

（1）f （x）是增函數(shù)．

證明如下：函數(shù)f （x）的定義域為（﹣∞，+∞），且

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

則．

因為y＝2x在R上單調(diào)遞增，且x1＜x2，

所以,,,,

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

所以f（x）在（﹣∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

（2）因為f（x）是定義域上的奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），

即對任意實數(shù)x恒成立，化簡得,

所以2a﹣2＝0，即a＝1．所以，

因為2x+1＞1，所以，可得，則．

故函數(shù)f （x）的值域為（﹣1，1）．