【題目】函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|.
(1)解不等式f(x)<0;
(2)若m,n∈R+ , ,求證:n+2m﹣f(x)>0恒成立.

【答案】
(1)

解:由f(x)<0得f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|<0,即|x+1|<|x﹣2|,

平方得x2+2x+1<x2﹣4x+4,即6x<3,

得x< ,即不等式的解集為(﹣∞, ).


(2)

解:∵n+2m+2=n+1+2m+1=(n+1+2m+1)( + )=4+1+ + ≥5+2 =5+4=9,

∴n+2m≥9﹣2=7,當且僅當+ = ,即n+1=2(2m+1)時取等號,

∴n+2m的最小值為7,

∵f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3,

∴f(x)的最大值為3,

則n+2m>f(x)恒成立,即n+2m﹣f(x)>0恒成立.


【解析】(1)根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解即可.(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì),利用1的代換,先求出n+2m的最小值,利用絕對值不等式的性質(zhì)求出f(x)的最大值,進行比較即可.
【考點精析】掌握基本不等式是解答本題的根本,需要知道基本不等式:,(當且僅當時取到等號);變形公式:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠有工人1000名,為了提高工人的生產(chǎn)技能,特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人).現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)),得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(圖1),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(圖2).

(1)在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,現(xiàn)以樣本中頻率作為概率,從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進行調(diào)查,請估計這名工人中的各類人數(shù),完成下面的列聯(lián)表.

若研究得到在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時間長短有關(guān),則的最小值為多少?

參考數(shù)據(jù):

參考公式: ,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值10,則a的值為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且點P(1, )在橢圓C上,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設(shè)過定點T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)過橢圓C1 + =1上異于其頂點的任一點P,作圓O:x2+y2= 的兩條切線,切點分別為M,N(M,N不在坐標軸上),若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,證明: + 為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,圓O是△ABC的外接圓,∠BAC的平分線交BC于點F,D是AF的延長線與⊙O的交點,AC的延線與⊙O的切線DE交于點E.

(1)求證: =
(2)若BD=3 ,EC=2,CA=6,求BF的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的圖像在點處的切線方程;

(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=104n1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且bn=log2an
(1)求bn , Sn;
(2)設(shè)cn= ,證明: + +…+ Sn+1(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)證明:當時,

(3)確定實數(shù)的值,使得存在時,恒有

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知點D在△ABC的BC邊上,且∠DAC=90°,cosC= ,AB=6,BD= ,則ADsin∠BAD=

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