【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=104n﹣1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且bn=log2an .
(1)求bn , Sn;
(2)設cn= ,證明: + +…+ < Sn+1(n∈N*).
【答案】
(1)解:設等比數(shù)列{an}的公比為q,
由an+1+an=104n﹣1(n∈N*),可得a1(1+q)qn﹣1=104n﹣1,
即有q=4,a1(1+q)=10,解得a1=2,
則an=24n﹣1=22n﹣1,bn=log2an=log222n﹣1=2n﹣1,
Sn= (1+2n﹣1)n=n2;
(2)證明:cn= =n,
不等式 + +…+ < Sn+1,
即為 + +…+ < (n+1)2.
運用數(shù)學歸納法證明.
當n=1時,左邊= ,右邊= ×4=2,不等式成立;
假設n=k時,不等式 + +…+ < (k+1)2.
當n=k+1時, + +…+ +
< (k+1)2+ ,
要證 (k+1)2+ < (k+2)2.
即證 < (k+2)2﹣ (k+1)2= (2k+3),
平方可得k2+3k+2<k2+3k+ ,即有2< 成立.
可得n=k+1時,不等式也成立.
綜上可得, + +…+ < Sn+1(n∈N*)
【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q,運用等比數(shù)列的通項公式,可得首項為2,公比為4,可得an=22n﹣1 , 由對數(shù)的運算性質可得bn=2n﹣1,運用等差數(shù)列的求和公式即可得到Sn;(2)求得cn= =n,原不等式即為 + +…+ < (n+1)2 . 運用數(shù)學歸納法證明.結合分析法,注意運用假設,化簡整理,即可得證.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從一堆產品正品與次品都多于2件中任取2件,觀察正品件數(shù)和次品件數(shù),則下列說法:
“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
“至少有1件正品”和“全是次品”是對立事件
“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是對立事件
“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是對立事件
其中正確的有______填序號.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2﹣x|.
(1)解不等式f(x)<0;
(2)若m,n∈R+ , ,求證:n+2m﹣f(x)>0恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式,并求函數(shù)f(x)在[﹣ , ]上的值域;
(2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin2B.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義域為{x|x≠0}的偶函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f′(x),對任意正實數(shù)x滿足xf′(x)>﹣2f(x),若g(x)=x2f(x),則不等式g(x)<g(1﹣x)的解集是( )
A.( ,+∞)
B.(﹣∞, )
C.(﹣∞,0)∪(0, )
D.(0, )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,
求證:(1)GH∥面ABC
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
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