【題目】如圖1,已知菱形的對角線交于點,點為線段的中點,,,將三角形沿線段折起到的位置,,如圖2所示.
(Ⅰ)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)折疊前,AC⊥DE;,從而折疊后,DE⊥PF,DE⊥CF,由此能證明DE⊥平面PCF.
再由DC∥AE,DC=AE能得到DC∥EB,DC=EB.說明四邊形DEBC為平行四邊形.可得CB∥DE.由此能證明平面PBC⊥平面PCF.
(Ⅱ)由題意根據(jù)勾股定理運算得到,又由(Ⅰ)的結論得到 ,可得平面,再利用等體積轉化有,計算結果.
(Ⅰ)折疊前,因為四邊形為菱形,所以;
所以折疊后,,, 又,平面,
所以平面
因為四邊形為菱形,所以.
又點為線段的中點,所以.
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又平面,所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(Ⅱ)圖1中,由已知得,,
所以圖2中,,又
所以,所以
又平面,所以
又,平面,
所以平面,
所以.
所以三棱錐的體積為.
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【題目】問:有多少種不同的方法將集合中的元素歸入三個(有序)集合,使得每個元素至少含于其中一個集合之中,這三個集合的交是空集,而其中任兩個集合的交都不是空集?
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【題目】已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù),且.當時,,若方程有300個不同的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在的單調性;
(2)當且時,,求函數(shù)在上的最小值;
(3)當時,有兩個零點,,且,求證:.
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【題目】
某學校高一數(shù)學興趣小組對學生每周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分,不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關系進行分析研究,他們從本校初二,初三,高一,高二,高三年級各隨機抽取了40名學生,記錄并整理了這些學生周平均體育鍛煉小時數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù),得到如下數(shù)據(jù)表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均體育鍛煉小時數(shù)工(單位:小時) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
體育成績優(yōu)秀人數(shù)y(單位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)若選取的是初三,高一,高二的3組數(shù)據(jù),請根據(jù)這3組數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,.
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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
(2)估計該公司投入4萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:萬元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的數(shù)據(jù)顯示,x與y之間存在線性相關關系,請將(2)的結果填入上表的空白欄,并計算y關于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為,.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸垂直.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)設,對任意,證明:.
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【題目】已知點,的兩頂點,且點滿足
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設,求動點的軌跡方程;
(3)過點的動直線與曲線交于不同兩點,過點作軸垂線,試判斷直線與直線的交點是否恒在一條定直線上?若是,求該定直線的方程,否則,說明理由.
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