Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PC，PD的中點(diǎn)，已知PA⊥AB，PA⊥AD．

（1）求證：直線PB∥平面OEF；

（2）求證：平面OEF⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)O為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，所以，PB∥FO，之后應(yīng)用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，得到PA∥OE，結(jié)合題中所給的條件因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，從而得到OE⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的判定定理證得結(jié)果.

（1）O為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，所以，PB∥FO

而PB平面OEF，F(xiàn)O平面OEF，

∴　PB∥平面OEF．

（2）連結(jié)AC，因?yàn)锳BCD為平行四邊形，

∴AC與BD交于點(diǎn)O，O為AC中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，

∴　PA∥OE，

因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴　PA⊥平面ABCD，

∴　OE⊥平面ABCD

又OE平面OEF，

∴　平面OEF⊥平面ABCD