Question

【題目】已知函數(shù) F (x) = e x 滿足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．

（1）求函數(shù) h(x)的反函數(shù)；

（2）已知(x) = g(x 1)，若函數(shù)(x)在 [1,3]上滿足(2 a+1) ，求實數(shù) a 的取值范圍；

（3）若對于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）由題意可得：，，聯(lián)立解得：，．由，化為：，，解得．可得．

（2），函數(shù)在，上滿足，轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在，上滿足：，由于函數(shù)在，上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，可得，，，解得范圍．

（3）不等式，即，令，由，，可得，，不等式轉(zhuǎn)化為：，，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解：（1）由題意可得：，，

聯(lián)立解得：，．

由，化為：，，解得．

．

（2），函數(shù)在，上滿足，

轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在，上滿足：，

由于函數(shù)在，上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，

，，，解得．

（3）不等式，即，

令，由，，可得，，

不等式轉(zhuǎn)化為：，，，當且僅當時取等號．

．